Solution.

La calculatrice, à l'aide d'un petit programme, va nous permettre de trouver toutes les solutions dès qu'on aura trouvé un encadrement pour les variables x, y et z. 

Remarque: Ne disposant pas, en HTML de symbole pour noter "inférieur ou égal", on le notera ici par <=.

On suppose que  x <= y <= z.

x ne peut pas être égal à 1 sinon on aurait 1/y + 1/z = 0.

Comme 1/x + 1/y + 1/z <= 1/3 il en résulte que x <= 3  donc   2 <= x<= 3    (1)

2 <= x<= 3  équivaut à  1/3 <= 1/x <= 1/2           donc   1/2 <= 1/y + 1/z <= 2/3  

Comme 1/y + 1/z <= 2/y   il en résulte que y <= 4

D'autre part y ne peut pas être égal à 2 sinon x le serait ce qui entraînerait  1/z = 0, donc 3 <= y <= 4   (2)

Avec  les relations (1) et (2) on obtient:  1/3 <= 1/x <= 1/2     et   1/4 <= 1/y <= 1/3

Ce qui donne en additionnant:  7/12 <= 1/x + 1/y <= 5/6    on en déduit que  1/6 <= 1/z <= 5/12

En se servant de la première partie de l'inégalité on obtient z <= 6. Ce qui donne  3 <= z <= 6 (3)