Solution.

La calculatrice, va nous permettre de deviner quel est le plus grand et nous fournir des valeurs approchées intéressantes.

Approche calculatrice.

Remplaçons 2002 par 100 et regardons ce que cela donne à la calculatrice.

On s'aperçoit que 5¹⁰⁰ est nettement supérieur à 4¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰.

On va donc essayer de trouver une minoration de 5²⁰⁰² qui soit une majoration de  3²⁰⁰² + 4²⁰⁰².

Démonstration.

En tenant compte du résultat de la calculatrice: 5¹⁰⁰ > 10⁶⁹.

Comme 5²⁰⁰⁰ = (5¹⁰⁰)²⁰, on a donc 5²⁰⁰⁰ > 10¹³⁸⁰ donc 5²⁰⁰² >10¹³⁸⁰.

En tenant compte du résultat de la calculatrice: 4¹⁰⁰ < 10⁶¹.

Comme 4²⁰⁰⁰ = (4¹⁰⁰)²⁰, on a donc 4²⁰⁰⁰ < 10¹²²⁰ . Comme 4² < 10², on a donc 4²⁰⁰² <10¹²²²

Comme 3²⁰⁰² < 4²⁰⁰² on a donc 3²⁰⁰² + 4²⁰⁰² < 2 10¹²²²

Donc 3²⁰⁰² + 4²⁰⁰²  < 2 10¹²²² < 10¹³⁸⁰ < 5²⁰⁰².