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BESANCON L'écrivain prolifique. Victor
est un écrivain très prolifique. Chaque année, il écrit un nouveau
recueil de poèmes qui a la particularité de posséder un poème de plus
que le recueil de l'année précédente. En 2002, après la publication de
son dernier ouvrage, son éditeur lui a fait remarquer que le nombre total
de poèmes qu'il a écrit depuis son premier recueil est exactement égal
à 2002. |
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Pouvez-vous dire en quelle année Victor écrivit son premier recueil de poèmes et combien de poèmes celui-ci comprenait? (il y a peut-être plusieurs solution).
Solution.
La calculatrice, va nous permettre, grâce à la table des valeurs d'une fonction de trouver toutes les solutions.
Soit p le nombre de poèmes du premier recueil et n le nombre de recueils publiés.
On a donc: p + (p + 1) + … + (p + n – 1) = 2002
Ce qui équivaut à: np + 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) = 2002
En utilisant la somme des n – 1 premiers nombres, on a: np + n(n – 1)/2 = 2002
Ce qui donne p = 2002/n – (n – 1)/2 avec n et p entiers positifs.
Entrons dans la calculatrice la fonction Y1 = 2000/X – (X–1)/2 et faisons défiler la table de valeurs de Y1 en faisant varier X de 1 en 1 à partir de 1.
Recherchons les X qui donnent des valeurs entières pour Y1.
Il suffit de faire défiler la table de 1 à 63, au delà, Y1 devient négatif.
On obtient huit solutions que l'on peut récapituler dans le tableau suivant:
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n |
1 |
4 |
7 |
11 |
13 |
28 |
44 |
52 |
|
p |
2002 |
499 |
283 |
177 |
148 |
58 |
24 |
13 |
Si le n ème recueil est publié en 2002, le premier a été publié en 2002 – n + 1. Ce qui permet d'avoir le tableau suivant pour répondre au problème.
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p |
2002 |
499 |
283 |
177 |
148 |
58 |
24 |
13 |
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Année |
2002 |
1999 |
1996 |
1992 |
1990 |
1975 |
1959 |
1951 |
Télécharger la solution au format RTF:
besan02.rtf(94k)
