Solution.

La calculatrice, à l'aide de Cabri va nous permettre de trouver la valeur de l'angle qui répond au problème. Il nous suffira ensuite de vérifier que cette valeur est la bonne.

Approche Cabri.

Construisons un carré ABCD. E un point de [BC] et F un point de [CD].

Demandons le périmètre du carré (ici 12 cm), le périmètre du triangle CEF et la mesure de l'angle FAE.

Faisons varier F de C à D. On s'aperçoit que le périmètre de CFE croit et passe par 6 cm. Dans ce cas l'angle EAF semble mesurer 45°.

Confirmation "calculatrice" de notre conjecture.

Reprenons le carré en plaçant d'abord E sur [BC]. Choisissons G tel que (AG) soit perpendiculaire à (AE). La bissectrice de l'angle GAE coupe [DC] en F. L'angle FAE mesure bien 45° et si l'on déplace E sur [BC] le périmètre de FEC vaut toujours 6 cm.

Démonstration.

1°) On pose BE = m et FC = x

Le périmètre p(x) du triangle FEC vaut p(x) = x + (a – m) + √(x² + (a – m)²).

p(x) est la somme de deux fonctions dérivables croissantes strictement.

p(0) = 2(a – m) < 2a   et p(a) > 2a, donc il existe une valeur x₀ unique tel que p(x₀) = 2a.

2°) Posons a = 1, BE = m et montrons que quand l'angle EAF vaut p/4, le périmètre de CEF vaut 2.

On appelle y la mesure en radians de l'angle BAE.  tan(y) = m.

DAF = p/4  – y

tan(p/4 – y) = sin (p/4 – y)/cos(p/4 – y)

En développant les sin et cos on obtient tan(p/4 – y) = (cos(y) – sin(y))/(cos(y) + sin(y))

Divisons le numérateur et le dénominateur par cos(y) et on obtient:

 tan(p/4 – y) = (1 – tan(y))/(1 + tan(y)) = (1 – m)/(1 + m)

En utilisant le triangle ADF on obtient DF = tan(DAF) = (1 – m)/(1 + m).

FC = 1 – (1 – m)/(1 + m) = 2m/(1 + m).

Dans  le triangle CEF on a EF² = (1 – m)² + 4m²/(1 + m)² = ((1 – m²)² + 4m²)/(1 + m)² = (1 + x²)²/(1 + x)².

D'où EF = (1 + m²)/(1 + m).

Le périmètre de CEF vaut: 1 – m + 2m/(1 + m) + (1 + m²)/(1 + m) = (2 + 2m)/(1 + m) = 2.

Conclusion:

Il existe un point unique F de [DC] tel que le périmètre de CEF vaut 2 et dans ce cas l'angle EAF vaut 45°.