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BESANÇON N°2 On se propose de continuer à remplir le tableau ci-dessous avec des entiers naturels en respectant les deux règles suivantes:
Règle 1: Chaque ligne contient des entiers naturels consécutifs. Règle 2: Sur chaque ligne, la somme des carrés des nombres inscrits dans les cases blanches est égale à la somme des carrés des nombres inscrits dans les cases grises. |
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1°) Montrer qu'il n'y a pas d'autre façon de remplir la première ligne.
2°) Remplir les deux lignes suivantes.
3°) Montrer que si l'on continue à remplir le tableau, en rajoutant autant de lignes que nécessaire, l'une des cases contiendra le nombre 2004
Préciser la couleur et la position exacte de cette case.
Solution.
La calculatrice numérique va nous permettre de résoudre des équations, de calculer les termes de suites, de faire une conjecture et de la vérifier.
1. Choisissons X comme valeur de la case du milieu, nous avons l’équation (X – 1)² + X² = (X + 1)² qui se réduit à X² - 4X = 0.
Donc X vaut 0 ou 4. Comme les lignes sont remplies avec des entiers naturels, il y a une seule solution : X = 4.
2. Pour remplir la deuxième ligne, on choisit toujours X comme terme du milieu et plutôt que de résoudre des équations du second degré, on utilise sur sa calculatrice les deux fonctions Y1 = (X - 2)² + (X - 1)² + X² et Y2 = (X + 1)² + (X + 2)²
On fait défiler la table de valeurs jusqu’à trouver X tel que Y1 = Y2
On trouve facilement que Y1 = Y2 pour X = 12.
La deuxième ligne sera donc remplie avec les nombres :
10, 11, 12, 13, 14.
On peut continuer ainsi pour remplir le tableau en ajoutant un terme supplémentaire à Y1 et Y2 à chaque fois.
Une autre façon, plus simple, va utiliser la possibilité de travailler sur les listes de nombres qu’offre la calculatrice.
Pour la ligne N, on définit Y1 comme la somme des carrés des nombres variant de X – N à X et Y2 la somme des carrés des nombres variant de X +1 à X + N .
On aura donc : Y1 = sum(seq(A²,A,X-N,X)) et Y2 = sum(seq(A²,A,X+1,X+N))
Pour trouver la ligne 3, on commence par mettre 3 dans la variable N puis on fait défiler la table jusqu’à trouver X tel que Y1 = Y2, cette égalité est réalisée pour X = 24
La troisième ligne sera donc : 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
3.En remplaçant N par 4, 5 , 6… on peut remplir les lignes suivantes et on peut espérer au bout d’un certain temps atteindre le nombre 2004 ! mais examinons plutôt la colonne des termes du milieu.
Nous obtenons la suite (Un) = { 4, 12, 24, 40, 60, 84…}
Remarquons que la différence entre deux termes consécutifs (8, 12, 16, 20, 24 ) se comporte comme une suite arithmétique (Vn) de premier terme 8 et de raison 4.
On va exploiter cette conjecture pour trouver un éventuel terme de (Un) proche de 2004 qui nous permette de remplir une ligne du tableau où apparaît le nombre 2004.
Pour cela on utilise la touche ANS qui est très pratique pour étudier les suites récurrentes et on mettra en parallèle, dans la même liste, trois suites : (Un), (Vn) et un compteur C. (Un+1 = Un + Vn Vn+1 = Vn + 4 Cn+1 = Cn +1)
On entre les éléments initiaux {4,8,1} et on appuie sur la touche ENTER
On entre les formules de récurrence en utilisant la commande ANS
{Ans(1) + Ans(2), Ans(2) + 4,Ans(3) + 1}
On appuie sur ENTER un certain nombre de fois dans l’espoir de voir afficher un nombre proche de 2004 .
On obtient alors la ligne :{ 1984, 128, 31}
Donc d’après la calculatrice, sur la base de notre conjecture, 1984 apparaîtrait au milieu de la ligne 31.
Vérifions, à l’aide des fonctions Y1 et Y2 que l984 convient bien.
On commence par entrer 31 dans la variable N,
on demande Y1(1984) et Y2(1984) et on obtient deux fois le nombre : 124 002 480.
Nous pouvons donc conclure que 2004 apparaît dans la ligne 31, dans la partie grisée à la place 20 à partir de la gauche.
Remarques.
On aurait pu choisir comme inconnue X le premier terme de chaque ligne et on serait arrivé aussi facilement au résultat.
On peut aussi remarquer qu’il n’y a qu’une seule façon de remplir chaque ligne avec des entiers naturels car 0 est toujours solution des équations dans R
Télécharger la solution au format RTF:
besancon.rtf(158k)
