CLERMONT  1

On considère une pièce carrée ABCD munie d'une lampe située dans le coin A qui éclaire toute la pièce. On installe alors une colonne à base carrée située comme comme dans le croquis suivant (deux faces sont adossées aux diagonales de ABCD).

Peut-on réduire l'ombre ainsi crée en déplaçant la lampe sur le côté AB de la pièce?

Solution.

On utilise le module "géométrie" de la calculatrice pour animer la figure et voir les invariants, ce qui va nous permettre de faire une conjecture.

Approche CabriJunior

  On construit un carré ABCD puis un carré  IOJP s’appuyant sur les diagonales qui se coupent en O. On choisit un point M sur [AD], les droites (MI) et (MJ) coupent [BC] en H et K. et on demande d’afficher l’aire de IJKH.

On déplace M sur [AD] et l’aire affichée est toujours la même.

   

On demande d’afficher la longueur  HK, on déplace M sur [AD], on constate encore que le deuxième nombre affiché ne change pas.

 

     

 

Il ne reste plus qu’à  démontrer  ce résultat constaté.

 

Les triangles MIJ et MHK sont semblables et même homothétiques.

MIJ a une hauteur  h relative au côté [IJ] constante (distance entre les droites (IJ) et (AD)), comme [IJ] est fixe, le triangle MIJ a toujours la même aire.

La hauteur de MHK relative au côté [HK] est constante et égale à AB. Le rapport d’homothétie des deux triangles est un rapport fixe et vaut h/AB. Comme l’aire de MIJ est constante, celle de MHK l’est aussi.

Il en résulte que l’aire de IJKH est constante, donc on ne peut pas réduire l’ombre.

 

Remarque : Ce problème peut avoir plusieurs prolongements fort intéressants (mais pas toujours simple !)

On peut par exemple déplacer la colonne, changer son orientation, sa forme, plein de nouveaux problèmes en perspective.

 

Télécharger la solution au format RTF:  clermont.rtf(117k)

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