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GUADELOUPE N°2 ©
est un cercle de centre O, A est un point fixe situé à l'intérieur de
ce cercle. M est un point mobile sur le cercle. 1°)
Déterminer la (ou les ) position(s) de M pour que l'aire du triangle AOM
soit maximale. 2°) Déterminer la (ou les) position(s) de M pour que l'angle OMA soit maximal. |
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Solution
Le module "géométrie" de la calculatrice va nous permettre de faire une conjecture.
Utilisons Cabri pour conjecturer sur les positions recherchées.
1°) Faisons varier le point M sur le cercle en affichant l'aire du triangle OAM.
Il semble que l'aire maximale soit obtenue quand les droites (OA et (OM) sont perpendiculaires.
L'aire du triangle MAO est la moitié de OM.OA.sin(MOA).
Comme OM et OA sont des distances fixes, l'aire sera maximale quand sin(MOA) sera maximal.
Le sinus d'un angle est maximal quand celui-ci est droit,
il en résulte que l'aire de MAO sera maximale quand il sera rectangle en O. (Il y a donc deux positions possibles pour M).
2°) Sur la figure Cabri, faisons varier M en affichant les valeurs des angles MOA et OAM.
Il semble que la mesure de MOA sera maximale quand OAM sera rectangle en A.
Démonstration.
La perpendiculaire à (OA) passant par A coupe le cercle en B et B'.
Soit M un point quelconque de ©. On appelle d la distance de O à la droite (MA).
sin(OMA) =
d/OM et sin (OBA) = OA/OM.
Comme d est inférieur ou égal à OA, il en résulte que sin(OMA) est inférieur ou égal à sin(OBA) ce qui entraîne que l'angle OMA est inférieur ou égal à OBA.
Conclusion: l'angle OMA sera maximum quand
les droites (OA) et (AM) seront perpendiculaires. (il y a deux positions
possibles de M).
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guadel2.rtf(47k)
