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LIMOGES N°1 Le nombre 60 a pour carré 3 600; si on enlève les deux derniers chiffres de ce carré, on obtient 36 qui est lui-même un carré. Le nombre 31 a pour carré 961; si on enlève les deux derniers chiffres de ce carré, on obtient 9 qui est lui-même un carré. Trouver tous les nombres entiers non multiples de 10, tels que si on enlève les deux derniers chiffres du carré, on obtient encore un carré. |
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Solution.
A l'aide d'un programme, la calculatrice va nous permettre de faire une conjecture.
Approche “ calculatrice ”.
Commençons par trouver tous les nombres entre 11 et 100, non multiples de 10 répondant aux conditions du problème à l’aide du programme suivant :
Algorithme :
Pour N variant de 11 à 100,
On place la partie entière de N²/100 en mémoire A et racine carrée de A en mémoire B.
Si la partie décimale de B vaut 0 et si celle de N/10 est différente de 0, on affiche N et N².
Nous obtenons les résultats suivants :
{11,121} ; {12,144} ; {13,169} ; {14,196} ; {21,441} ; {22,484} ; {31,961} et {41,1681}.
Sur ces exemples, on constate que le nombre de centaines du carré du nombre recherché est toujours le carré du nombre des dizaines.
On est amené à se poser deux questions :
1°) Quels sont les nombres dont le nombre de centaines du carré est le carré du nombre de dizaines ?
2°) Peut-on avoir un nombre dont le nombre de centaines du carré soit supérieur au carré du nombre de dizaines ?
Réponse :
1°) On pose N = 10a + b avec b entier compris entre 1 et 9
N² = 100a² + 20ab + b²
Pour avoir le nombre de centaines de N² égal à a², il faut et il suffit que 20ab + b² < 100 ou b(20a + b) < 100
Essayons toutes les valeurs possibles de b.
Si b = 1, la condition se traduit par 20a + 1 < 100, a peut donc prendre les valeurs 1, 2, 3 ou 4.
Si b = 2, la condition se traduit par 20a + 2 < 50, a peut donc prendre les valeurs 1 ou 2.
Si b = 3, la condition se traduit par 20a + 3 < 34, a peut donc prendre la valeur 1.
Si b = 4, la condition se traduit par 20a + 4 < 25, a peut donc prendre la valeur 1.
Si b 5, la condition se traduit par 20a + b < 20, donc il n’y a pas de valeur de a possible.
Les nombres trouvés à cette question sont ceux donnés par la calculatrice.
2°) On pose N = 10a + b avec b entier compris entre 1 et 9 N² = 100a² + 20ab + b²
On cherche à voir si N² peut s’écrire 100(a+ k)² + c avec c < 100 et k > 0
En commençant par k = 1, le problème se traduit par la condition :
20ab + b² supérieur ou égal à 100 (2a + 1)
Comme 9 supérieur ou égal à b on a 180a + 81 supérieur ou égal à 20ab + b² ,
on en déduit que l’on devrait avoir 180a + 81 supérieur ou égal à 200a + 100
Comme a est un entier positif, cette inéquation n’a pas de solution.
Comme on ne peut pas avoir (a + 1)² centaines pour N², on ne pourra jamais avoir (a + k)² centaines pour N² .
Les seules solutions sont celles fournies par la calculatrice.
Télécharger la solution au format RTF:
limog1.rtf(18k)
