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LIMOGES N°2 Au triplet (a,b,c) de nombres réels, on fait correspondre le triplet (a+b,b+c,c+a) et on réitère le procédé. Par exemple, avec (2,-1,0.5), on trouve successivement (1,-0.5,2.5) (0.5,2,2.5) (2.5,5.5,4)... Est-il possible, au bout d'un certain nombres d'opérations, de retrouver le triplet de départ? Au bout de combien d'opérations? |
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Solution.
La calculatrice va nous permettre de faire rapidement quelques essais et de faire une conjecture.
Prenons un triplet quelconque, par exemple {1, 3, 6} que l’on entre dans sa calculatrice.
Appliquons le procédé itératif donné à l’aide de la fonction Ans :
{Ans(1) + Ans(2),Ans(2) + Ans(3),Ans(3)+Ans(1)}
En appuyant trois fois sur la touche ENTER, on obtient les triplets :
{4,9,7}, {13,16,11}, {29,27,24}
On constate que les nombres augmentent de plus en plus (la somme double à chaque itération) donc
une condition nécessaire pour retrouver le triplet initial est que la somme des trois nombre soit égale à 0
Reprenons notre manipulation avec des triplets dont la somme des termes vaut 0.
Avec {1,2,-3} on obtient {3,-1,-2}, {2,-3,1}, {-1,-2,3}, {-3,1,2}, {-2,3,-1}, {1,2,-3}
Avec {5,-3,-2} on obtient {2,-5,3}, {-3,-2,5}, {-5,3,2}, {-2,5,-3}, {3,2,-5}, {5,-3,-2}
Il semble que la condition soit suffisante et que le triplet de départ soit obtenu après 6 opérations.
Montrons-le dans le cas général.
a et b étant deux réels, on part du triplet {a, b, -a-b} et on obtient dans l’ordre les triplets suivants :
{a+b,-a,-b}, {b,-a-b,a},{-a,-b,a+b},{-a-b,a,b},{-b,a+b,-a},{a,b,-a-b},
Conclusion :
On retrouve le triplet de départ si et seulement si la somme de ses termes vaut 0 et ceci en 6 opérations.
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