Recherche avec Cabri Junior

On construit  un triangle ABC dont on affiche l’aire, I un point de [AC], M le milieu de [AC] et on cherche J sur (BC) tel que l’aire de IJC soit la moitié de l’aire de ABC. 

En déplaçant  I sur [AC], on constate que :

Si I est sur [AM],  J est sur [BC] (figure 1)

Si I est en M, J est en B  (on retrouve ainsi la propriété : une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire). (figure 2)

Si I est sur [MC], on utilise un point K de [AB] pour faire la figure.

 Si I est près de M , J est à l’extérieur de [BC]  du côté de  B. (figure 3)

Si I  atteint un point Q que l’on précisera,  (IK) est parallèle à (BC), donc J n’existe pas. (figure 4)

Si  I est entre Q et C, J est à l’extérieur de [BC]  du côté de  B. (figure 5)

Par contre rien de simple ne permet de caractériser la position de J connaissant I d’où l’idée de chercher d’abord un point N de (BC) tel que l’aire de NIC soit égale à celle de ABC, il suffira ensuite de prendre J au milieu de [NC]. (figure 6)

Dans ce cas, il semblerait que les droites (NA) et (BI) sont parallèles (figure 7)

Vérification.

On trace le triangle ABC, M le milieu de [AC],  I un point de  [AM], la parallèle à (BI) passant par A coupe (BC) en P. On trouve bien que l’aire de PIC est égale à l’aire de ABC.(figure 8)

Démonstration.

1) Cas où I appartient à [AM]

On considère la figure précédente. AIBP est un trapèze, les triangles AIP et ABP ont même base [AP] et même hauteur (celle du trapèze) donc ils ont même aire.

Aire (ABC) = Aire (APC) – Aire (ABP)

Aire (PIC) = Aire (APC) – Aire (AIP)

Il en résulte que Aire(ABC) = Aire(PIC)

Soit J le milieu de [PC], on a bien  Aire(IJC) = ½ Aire(ABC).

2) Cas où I appartient à [MC].

La droite qui partage le triangle en deux domaines de même aire coupera le côté [AB] et K. On détermine K comme on a déterminé J dans le cas précédent.

Se pose alors le problème de l’existence de J.

Si (IK) est parallèle à (BC), les triangles AIK et ABC sont  homothétiques dans le rapport k= rc(2)/2 pour avoir le rapport des aires égal à 1/2, dans ce cas le vecteur AI vaut k fois le vecteur AC. Soit Q ce point particulier de [AC] et dans ce cas J n’existe pas

Si I est en C, J sera en C. La droite qui partage ABC en deux domaines de même aire est la médiane issue de C qui ne peut être définie par la droite (IJ)

Algorithme de construction de J.

Si I est entre A et M, on trace la parallèle à  (BI) passant par A, celle-ci coupe (BC) en P et J est le milieu de [PC]. (1)

Si I est en A, J est le milieu de [AC].

Si I est en M, J est en B.

Si I est entre M et C, on commence d’abord par trouver un point K de [AB] tel que  Aire(AIK) = 1/2Aire(ABC) comme on a fait en (1)

Si I est entre M et Q, la droite (IK) coupe (BC) en J (à l’extérieur de [BC] du côté de B).

Si I est en Q, la droite (IK) est parallèle à (BC) et J n’existe pas.

Si I est entre Q et C, la droite (IK) coupe (BC) en J (à l’extérieur de [BC] du côté de C)

Si  I est en C, la droite qui partage ABC en deux triangles de même aire est la médiane issue de C, donc J est en C et on ne peut pas parler de la droite (IJ).

Télécharger la solution au format RTF:  montpellier.rtf(139k)

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