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National N°2 Soit
ABCD une feuille rectangulaire de largeur AB = 4 et de longueur BC = 6. Soit R
un point de [AB] et T un point de [AD]. On replie la feuille suivant le segment
[RT] et on appelle S la nouvelle position de A. Dans
tout l'exercice, on s'intéresse au cas où S est sur le segment [BC]. On
pose AR = x et AT = y. |
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1°)
Trouver les valeurs minimales et maximales de x.
2°)
Trouver une relation entre x et y lorsque S se déplace sur [BC].
3°) Trouver la valeur de x pour laquelle la partie repliée (triangle SRT) est minimale. Quelle est alors la nature du triangle AST?
Solution.
La calculatrice va d'abord nous permettre de faire une conjecture à l'aide du module "géométrie" puis le calcul formel va nous permettre de conclure.(solution proposée par JeanAlain Rodier)
Approche Cabri.
On construit le rectangle ABCD à l’échelle ½. En remarquant que (RT) est la médiatrice de [SA], il suffit de prendre S sur [BC]. La médiatrice de [SA] permet d’obtenir les points R et T.
On demande d’afficher la longueur x = AR, l’aire de ART et la valeur de l’angle ATS
En déplaçant S sur [BC], on s’aperçoit que la plus
grande valeur de x est obtenue quand R est en B et la plus petite quand T
est en D .
En faisant varier AR de sa valeur minimale à sa valeur
maximale, on s’aperçoit que l’aire commence par décroître puis par
croître. L’aire minimale semble être atteinte quand le triangle AST est équilatéral
.
Démonstration.
1.La valeur maximale de x est obtenue quand R est en B et elle vaut 4.
Plaçons notre figure dans un repère orthonormé d’origine B et tel que les coordonnées de A et de C sont (0 ;4) et C(0 ;6). Le point S aura pour coordonnées (0 ;a).
Un point M (X ;Y) appartient à la médiatrice D de [AS] si et seulement si MA² = MS²,
ce qui équivaut à (X – 4)² + Y² = X² + (Y – a)²
Après simplification, on en déduit une équation de D :
2aY = 8X + a² - 16. (1)
Pour la valeur minimale de x, D passe par D, on remplace X et Y par 4 et 6 ce qui donne l’équation :
12a = 32 + a² - 16.
Cette équation a deux solutions : 6 – 2 √5 et 6 + 2 √5. Seule la première convient au problème.
En utilisant le triangle rectangle BSR et les données de l’énoncé, on a a² = x² – (4 – x)².
Après simplification, on a a² = 8x – 16 (2)
En remplaçant a par 6 – 2 √5, on obtient x = 9 – 3 √5 2,29.
2.
La droite D passe par le point T de coordonnées (4 ;y). En utilisant l’équation (1), on obtient la relation :
2ay = 32 + a² - 16
La relation (2) permet de remplacer a dans la relation précédente et on obtient
y = 2x/ √(2x – 4) = √(2) x/√(x – 2)
3.
L’aire du triangle RAT vaut xy/2.
La fonction notée f, qui associe à x l’aire de RAT est définie par f (x) = √(2) x2/√(x – 2)
Nous allons dans un
premier temps tracer la représentation graphique de la fonction dans la fenêtre
[2,29 , 4] x [5 , 8,5]. Nous lançons ensuite la recherche d'une valeur
approchée du minimum, la calculatrice fournit alors l'écran ci-dessous:
La conjecture que nous pouvons alors produire est la suivante :
" la fonction f admet un minimum en 8/3"
Il nous faut à présent tester cette conjecture pour pouvoir soit la confirmer soit la rejeter. Pour cela, nous devons comparer f(x) et f(8/3), l'expression de f(x) contenant une racine carrée, nous choisissons de comparer (f(x))2 et (f(8/3))2, pour cela lançons le calcul de la factorisation de la différence :
(f(x))2 - (f(8/3))2.
Remarque : La réponse fournie par la calculatrice montre qu'elle n'a pas fait que factoriser l'expression, et qu'elle a réduit au préalable l'expression au même dénominateur.
Il nous suffit d'étudier à présent le signe de l'expression sur l'ensemble de départ de la fonction. L'expression 3x2+16x+64 ayant été laissée telle quelle cela signifie qu'elle n'a pas de racines et donc qu'elle garde le signe du coefficient de x2. Nous pouvons donc malgré la complexité de l'expression affirmer qu'elle est toujours positive sur l'ensemble de départ de f et qu'elle ne s'annule qu'une seule fois. Ainsi, nous pouvons affirmer que : " la fonction f admet un minimum en 8/3 et ce minimum est atteint une seule fois".
4.
Pour prouver que le triangle AST est équilatéral dans le cas où l’aire de RAT est minimale, il suffit de montrer que l’angle RTA mesure 30°
tan(RAT)= x/y = √(2x – 4)/2 en remplaçant x par 8/3, on obtient tan (RAT)= √(3)/3 donc RAT = 30°
Le triangle AST est équilatéral.
Télécharger la solution au format RTF:
national.rtf(841k)
