|
ROUEN N°2 Le
problème du cornet. On
fabrique un cornet (cône) dont l'aire latérale est une partie du disque de
rayon R ci-dessous. Trouver
la valeur exacte en radians de l'angle x (0 < x < 2 p)
pour que le volume du cône obtenu soit maximal. Quel est le volume maximal en fonction de R? |
|
Solution.
Le calcul formel va permettre de trouver facilement la dérivée de la fonction qui donne le volume en fonction de l'angle x et trouver des valeurs qui anullent cette dérivée.
La longueur de l'arc AA' est le périmètre du cercle de base du cône.
Si on appelle r le rayon du cercle de base du cône, on a l'égalité:
2 p r = R x ce qui donne r = R x/2p
SOA est un triangle rectangle en O donc, d'après le théorème de Pythagore:
h² =
R² - r² = R² - R²x²/4p²
= R²(4 p²
- x²)/ 4p²
ce qui donne h = R √(4p² - x²)/2p
Le volume du cône est donné par la formule V = pr²h/3
Entrons les fonctions r, h et v de la variable x dans la calculatrice.
(r sera remplacé par f car la calculatrice ne fait pas de différence entre r et R)
Calculons les valeurs qui annulent la dérivée de v sur [0; 2 p].
Comme le volume est nul pour x = 0 et pour x = 2p, le volume sera maximum pour x = 2 p √6/3
Pour trouver le volume maximal.
Télécharger la solution au format RTF:
rouen2.rtf(67k)
