Solution.

La calculatrice, à l'aide de Cabri, va nous permettre de faire des conjectures. 

Approche Cabri ( Voyage 200) ou CabriJunior (TI83-84).

Soit ABCD un carré, prenons un point E quelconque et construisons F milieu de [EB], G milieu de [FC], H milieu de [DG] et I milieu de [AH].

Pour répondre au problème, déplaçons le point E pour le faire coïncider avec I.

L'observation de cette figure nous permet de penser que EFGH est un carré. Si le constat est exact, on peut en déduire que (AH) est parallèle à (CF), ce qui impliquerait que (AH) passe par le milieu de [DC] et que (CF) passe par le milieu de [AB].

Suite à ces observations, construisons la figure suivante:

ABCD un carré

M, N, P et Q les milieux de [CD], [DA], [AB] et [BC].

(AM) coupe (BN) et (DQ) en E et H.

(CP) coupe (BN) et (DQ) en F et G.

Montrons que cette figure correspond bien à l'énoncé et que EFGH est un carré.

ABCD est un carré donc le vecteur AB est égal au vecteur DC, donc les vecteurs AP et MC sont égaux.

Il en résulte que les droites (AM) et (CP) sont parallèles.

De la même manière, (BN) et (DQ) sont parallèles.

Dans le triangle DGC, M est le milieu de [DC], (HM) est parallèle à (CG) donc H est le milieu de [DG].

De la même manière, on montre que E est le milieu de [AH], F est le milieu de [BE] et G celui de [CF].

EFGH a ses côtés opposés parallèles, donc c'est un parallélogramme.

Appelons O le centre du carré et considérons la rotation de centre O et d'angle +pi/2 .

Les images de A, B, C et D sont respectivement B, C, D et A.

Les images de M, N, P et Q sont respectivement N, P, Q et M.

Les droites (AM) et (BN) ont pour images les droites (BN) et (CP) donc (BN) perpendiculaire à (CP) car la rotation est d'angle п/2.

Le parallélogramme  EFGH est donc un rectangle.

Comme "l'image de l'intersection est l'intersection des images", l'image de E est F.

De la même manière, l'image de F est G.

Donc le segment [EF] a pour image le segment [FG] et puisque la rotation est une isométrie on a EF = FG.

Le rectangle EFGH est donc un carré.

2°)

Appelons a la longueur du côté du carré ABCD et c la longueur du côté de EFGH.

Comme CG = 2 HM, on peut dire que AM = 5c/2

d'autre part en utilisant le triangle rectangle ADM,  AM² = a² +(a/2)² = 5a²/4, il en résulte que a² = 5c².

Donc le rapport des aires demandé est 1/5.