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CORSE N°2 Le billard. Un billard est constitué d'un plateau rectangulaire de longueur L et de largeur l. La boule de billard qui se trouve en un point A du billard, suit, après avoir été frappée, une trajectoire en ricochant sur les bords du plateau. On dira que la trajectoire est "parfaite" si la boule revient à son point de départ en suivant un quadrilatère dont les sommets sont des points situés sur les bords du plateau. |
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Dans cette question on considère que le joueur n'a pas donné à la boule d'effet spécial et que le rebond sur chaque bord du plateau se fait symétriquement à la perpendiculaire au point de contact.
a) Démontrer qu'une trajectoire parfaite est nécessairement un parallélogramme.
b) Pour tout point A non situé au centre ou sur un bord du plateau, déterminer en les justifiant, le nombre de trajectoires parfaites passant par A.
c) Démontrer que toutes les trajectoires parfaites ont la même longueur.
Solution.
La calculatrice va nous permettre, grâce au logiciel Cabri, de faire des conjectures.
Approche Cabri.
Soit EFGH un rectangle représentant le plateau de billard, A un point quelconque du billard et M un point quelconque de [EF].
Si la droite (MA) coupe [FG] en N. On construit le parcours de la boule de la manière suivante:
(NP) est la symétrique de (MN) par rapport à la perpendiculaire en N à (FG).
(PQ) est la symétrique de (NP) par rapport à la perpendiculaire en P à (HG).
(M'Q) est la symétrique de (PQ) par rapport à la perpendiculaire en Q à (EH).
Le parcours de la boule sera la ligne brisée ANPQM'.
Déplaçons M sur [EF] pour voir si M et M' peuvent être confondus, ce qui permettra de dire que la trajectoire est parfaite.
D'après notre manipulation, il existe une solution.
Si la droite (MA) coupe [EH] en N. On construit le parcours de la boule de la même manière et on obtient encore une seule trajectoire parfaite.
En examinant ces deux trajectoires parfaites, il semble que ce soient des parallélogrammes et que leurs côtés soient parallèles aux diagonales du rectangle.
Démonstration.
a) En utilisant les notations de la figure 1, (NP) est l'image de (MN) dans une symétrie d'axe d1 (perpendiculaire à (EG) en N) et (QP) est l'image de (NP) dans une symétrie d'axe d2 (perpendiculaire à (GH) en P). Comme d1 et d2 sont perpendiculaires, la composée de ces deux symétries est une symétrie centrale, donc les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.
De la même manière, (NP) et (QM') sont parallèles.
Donc si M=M', la trajectoire parfaite sera un parallélogramme.
Si on mène une parallèle à (EF) passant par le milieu de [FG], d'après le théorème de Thalès, elle passe par le milieu de [MP].
Si on mène une parallèle à (GF) passant par le milieu de [FE], d'après le théorème de Thalès, elle passe par le milieu de [NQ].
Comme [MP] et (NQ] ont même milieu, ce point est confondu avec le centre du billard.
b) Montrons qu'une condition nécessaire et suffisante pour avoir une trajectoire parfaite est que les côtés de la "trajectoire" soient parallèles aux diagonales du billard.
Condition nécessaire.
Soit ANP le début de la trajectoire de la boule, P' le point d'intersection de (AN) et de (GH).
Pour avoir une trajectoire parfaite, il est nécessaire que MNPQ soit un parallélogramme de centre O, donc il est nécessaire que O soit le milieu de [MP].
Comme O est le milieu de [EG], il est nécessaire que MGPE soit un parallélogramme, donc que les vecteurs EM et PG soient égaux.
Comme les vecteurs PG et GP' sont égaux, il est nécessaire que EMP'G soit un parallélogramme,
donc que (AN) soit parallèle à (EG).
de la même manière, il est nécessaire que (NP) soit parallèle à (FH).
Condition suffisante.
Soit (AM) parallèle à (EG) et (NP) parallèle à (FH)
On a donc les angles ANF et OGF égaux de même que les angles PNG et OFG.
Comme OFG est un triangle isocèle de sommet O, on a l'angle OFG égal à l'angle OGF donc les angles ANF et PNG sont égaux.
En faisant de la même manière pour les trois autres points, on a bien une trajectoire parfaite.
Comme il y a deux façons de construire un parallélogramme avec ses côtés parallèles aux diagonales du billard, on peut dire qu'il y a deux trajectoires parfaites dans le billard.
a) En s'appuyant sur la figure du b, on a NP = NP',
Comme dans une trajectoire parfaite, MP'GE est un parallélogramme, on a MP' = EG.
donc MN + NP = MN + NP' = EG.
Donc la longueur d'une trajectoire parfaite est égale au double d'une diagonale du billard, c'est à dire V(L² + l²).Télécharger la solution au format RTF:
corse205.rtf(1507k)
