LIMOGES N°1
La
cage.
Un
peintre doit repeindre les barreaux de la cage circulaire du lion.
Il
y a 2 005 barreaux et il décide de procéder de la manière suivante:
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LIMOGES N°1 La
cage. Un
peintre doit repeindre les barreaux de la cage circulaire du lion. Il
y a 2 005 barreaux et il décide de procéder de la manière suivante: |
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Il
peint un barreau, en passe deux, en peint trois, en passe quatre, etc. jusqu'à
ce qu'il rencontre à nouveau le premier barreau peint. Il s'interrompt alors et
va prendre sa pause, largement méritée.
Combien de barreaux lui restera-t-il alors à peindre?
Solution.
La
calculatrice va nous permettre d'arriver au résultat sans connaître les
propriétés des suites arithmétiques.
Appelons T1 le fait de peindre un barreau et d'en passer deux, T2 le fait de peindre trois barreaux et d'en passer quatre etc.
Résumons ceci dans un tableau;
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Tn |
Nbre peint |
Nbre passés |
Total cumulé |
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1 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
3 |
4 |
10 |
|
3 |
5 |
6 |
21 |
A l'aide de la calculatrice on va continuer jusqu'à atteindre un total cumulé proche de 2005. Pour cela on utilise la fonction Ans.
La première colonne augmente de 1 à chaque fois.
La deuxième et la troisième augmentent de 2 à chaque fois.
La colonne 4 augmente de la somme des deux derniers nombres des deux colonnes précédentes.
On commence par entrer la première ligne: {1,1,2,3} puis on appuie sur la touche ENTER.
On entre la condition de récurrence: {Ans(1)+1,Ans(2)+2,Ans(3)+2,Ans(4)+Ans(2)+Ans(3)+4} puis on appuie plusieurs fois sur la touche ENTER jusqu'à obtenir un nombre proche de 2005 en quatrième position.
Ceci veut dire que pour T31, il aura peint 61 barreaux, passé 62 et qu'il sera arrivé au barreau n° 1953.
Au prochain tour, il devrait en peindre 63, mais il n'en
reste plus que 52 avant d'atteindre le barreau n°2005 donc le nombre de
barreaux non peints avant la pause est représenté par la somme des nombres
pairs de 2 à 62.
Donc le nombre de barreaux non peints à la pause est de 992.
Utilisation des listes (Idée de France et Michel
Villiaumey)
On met en L1 le nombre de barreaux peints à l'étape X,
en L2 le nombre de barreaux non peints à l'étape X,
en L3 le nombre de barreaux non "visités" à l'étape X
et en L4 le nombre total de barreaux non peints à l'étape X.
(La commande cumSum (L1) donne une liste dont tous les termes sont les sommes de tous les termes de la liste L1 de rang inférieur.)
Il ne reste plus qu'à afficher les listes et trouver la
ligne précédent la ligne où L3 devient négatif.
Donc à la trente et unième étape, 61 barreaux sont peints, 62 ne sont pas peints et il en reste 52 avant d'atteindre le 2005 ième. (qui seront peints à l'étape suivante).
Affichons la liste L4.
Donc le nombre de barreaux non peints à la pause est de 992.
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