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NANCY-METZ N°1 L'Amazone. Deux
bacs partent en même temps des deux rives opposées de l'Amazone et
naviguent à vitesse constante. L'un
étant plus rapide que l'autre, ils se croisent à 1500 mètres de la rive
la plus proche. Arrivés à destination, les deux bateaux restent à quai
25 minutes, le temps de débarquement des passagers et de l'embarquement
de nouveaux passagers, puis larguent les amarres pour repartir vers leur
point de départ. |
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Ils
se croisent une seconde fois à 700 mètres de la rive la plus proche.
Quelle
est la largeur de l'Amazone entre ces deux rives?
Solution.
La
calculatrice va nous permettre dd conjecturer sur la largeur de l'Amazone, il
suffira ensuite de vérifier que la conjecture convient au problème.
Remarquons que la largeur de l'Amazone est supérieure à 3000 mètres car "ils se croisent à 1500 mètres de la rive la plus proche et inférieure à 4500 mètres car si le plus rapide allait deux fois plus vite (ou plus) ils ne se recroiseraient pas tous les deux sur le chemin du retour.
Approche Cabri.
Compte tenu des remarques précédentes, on divise toutes les dimensions par 400 pour pouvoir faire une représentation graphique de la durée de navigation en fonction de la distance à la première rive.
[AB] représente la largeur de la rivière. A a pour abscisse 0 et B pour abscisse d.
Soient e et f les points de [AB] d'abscisses 1,75 et d – 3,75 (qui correspond à 700 m et 1500m).
On mène les perpendiculaires à [AB] à ces quatre points.
On prend un point R sur la perpendiculaire en f à (AB) qu'on appellera point de rencontre aller des deux bateaux.
Le temps de navigation aller du bateau le moins rapide sera représenté par le segment [AB'], l'autre par [BA'].
Comme la vitesse retour du premier bateau est la même que celle de l'aller, il suffit de prendre le symétrique de [AB'] par rapport à la perpendiculaire en B' à (BB') pour avoir la représentation retour.
Même chose pour le deuxième.
On appelle T le point de concours de [B'A"]et de [A'B"].
On déplace B jusqu'à ce que T soit sur la perpendiculaire en e à (AB).
(Pour pouvoir déplacer B au delà du bord de l'écran, on placera d'abord son milieu qui sera le point à déplacer).
On peut alors conjecturer que d = 9,5 cm ce qui ferait une largeur de 3800 mètres pour l'Amazone.
Vérification.
On suppose que l'Amazone a une largeur de 3800 mètres et on va vérifier que les deux bateaux se croisent sur le chemin du retour à 700 mètres de la berge la plus proche.
Plaçons nous dans un repère orthogonal tel que A (0;0), B(3800;0) et R(2300,1)
La droite (AR) a pour équation y1 = x/2300 et A' a pour coordonnées (3800; 38/23)
La droite (A"B') a pour équation y2 = - x/2300 + 76/23
La droite (A'B) a pour équation y3 = - x/1500 + 38/15
La droite (A'B") a pour équation y4 = x/1500 + 38/15
Si on remplace x par 700 dans y2 et y4,
nous obtenons 3 dans les deux cas donc notre conjecture est bonne.
La largeur de l'Amazone est de 3800 mètres
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