1)    Un enfant court de B vers K puis de K doit rejoindre C. Quel est le trajet le plus court? (Justification non demandée).

En donner une approximation à 0,1 mètre près.

2)    Un autre enfant part lui aussi de B, doit toucher un point de l'arc de cercle et rejoindre C.

Quel est le trajet le plus court (justifier votre réponse)?

     En donner une approximation à 0,1 mètre près.

Solution.

La calculatrice, à l'aide de Cabri, va nous permettre de faire des conjectures. 

1) Approche Cabri.

(les noms de points sont en minuscule pour améliorer la lisibilité des écrans).

Soit ABC un triangle rectangle isocèle de sommet A, un arc de cercle représentant le parterre et un point D du segment [BK].

En rapprochant D de K, on s'aperçoit que le segment [DC] va toucher l'arc de cercle avant que D ne soit en K. Appelons T le premier point de contact de [DC] avec l'arc de cercle. ( Dans ce cas (DC) sera tangente  à l'arc de cercle).

La figure nous suggère le trajet le plus court qui sera donc d'aller directement de B à K, de suivre l'arc de cercle de K à T puis d'aller directement de T à C.

Calcul de la longueur du trajet.

ATC est un triangle rectangle en T tel que AT = 50, AC = 130 donc CT = 120

L'angle KAT = ACT  donc  sin(KAT)  = 5/13 ce qui fait que l'angle KAT mesure 0,3948 radians

Donc le parcours minimum sera de 80 + 120 + 50 *0.3948 = 219,7 mètres.

2)       Approche Cabri

Soit un point M de l'arc de cercle, traçons les segments [BM] et [CM], demandons leur longueurs et affichons la somme de ces deux longueurs.

En déplaçant le point M sur l'arc de cercle, on s'aperçoit que la distance BMC est minimale quand M est au milieu de l'arc.

Autre façon de conjecturer (Idée de France et Michel Villiaumey).

On considère le repère d'axes (AB) et (AC), B a pour coordonnées (130;0) C(0;130)  et on note x la mesure en radians de l'angle BAM  où M est un point du quart de cercle ayant pour coordonnées (50 cos x; 50sin x) pour x compris entre arcsin(5/13) et arccos(5/13) pour qu'aucune des deux segments [BM] et [CM] ne traverse le secteur circulaire (il est interdit de marcher sur les pelouses).

Le trajet y est donc: y = BM + CM = √ ((130 – 50sin(x))² + (50cos(x))²) + √ ((130 – 50cos(x))² + (50sin(x))²)

Représentons graphiquement cette fonction pour  arcsin(5/13) arccos(5/13).

Démonstration de cette conjecture.

Soit I le milieu de l'arc, par I on trace la parallèle d à (BC). La droite d coupe (DM) en N. On appelle C' le symétrique de C par rapport à d.

DN + NC = DN + NC' car C' est le symétrique de C par rapport à d.

D,I et C' sont alignés donc DN + NC' supérieur ou égal à DI + IC'.

Il en résulte que DN + NC supérieur ou égal à DI + IC

DM + MC = DN + NM + MC supérieur ou égal à DN + NC  à cause de l'inégalité triangulaire.

D'où DM + MC supérieur ou égal à DI + IC.

Le trajet le plus court sera de toucher l'arc de cercle en I.

Soit O le milieu de [BC], Le triangle BIO est rectangle en O. BO = 130√(2)/2 = AO donc IO = 65√(2) – 50

donc BI² =  BO² + IO² = 19400 – 6500√(2)

d'où BI = 10√(194 - 65√(2)) soit environ 101,033

La distance minimale à parcourir sera donc de 202 mètres à 0,1 mètre près.