Théoriquement, taper la première boule dans la direction de cette droite fera se cogner l'une après l'autre toutes les boules.

Mais qu'en est –il si ce premier coup ne se fait pas exactement dans l'axe des boules?

  Note: Au moment du choc la boule venant cogner imprime à la boule immobile un mouvement de direction égale à celle de la droite passant par les centres des boules.

Solution.

La calculatrice, grâce à Cabri, va nous permettre de conjecturer et de voir les différents cas.

Approche Cabri.

On dira que les boules sont de rayon 1 et que les centres sont séparés d'une distance d. On travaille dans un plan horizontal passant par les centres.

Deux questions préliminaires peuvent se poser.

1)       Quel est l'angle maximal que peut faire la trajectoire d'une boule avec l'axe pour pouvoir rencontrer la suivante?

2)       Comment tracer simplement les trajectoires des boules avant le choc avec la suivante?

1) Soient deux boules de centres A₁ et A₂, la première boule se déplaçant suivant la direction (A₁E) ne rencontre la deuxième que si l'angle a que fait (A₁E) avec (A₁A₂) n'est pas trop grand.

La position limite sera quand la droite (AE) sera parallèle à la tangente commune (MN).

Appelons I le milieu de [A₁A₂], Le triangle INA₂ est rectangle en N, donc le sinus de l'angle a  vaut 2/d.

Par exemple, si d = 4, l'angle maximum que peut faire la trajectoire de la première boule  avec l'axe sera  de 30°.

3)       Comment construire les trajectoires des boules?

Lorsque la boule 1 rencontre la boule 2, le point de contact M est aligné avec O et A₂  donc la distance OA₂ = 2.

La deuxième boule commencera par se déplacer suivant la direction (OA₂).

Le point O est donc le premier point d'intersection de (A₁E) (à partir de A₁) avec le cercle de centre A₂ et de rayon 2. Nous avons là le moyen de déterminer la trajectoire de la deuxième boule une fois touchée par la première.

Appliquons ce résultat à plusieurs boules de centre A₀, A₁, A₂, A₃ … et regardons ce qui ce passe.

(A₀B₁), (B₁A₁), (B₂A₂) sont les directions de déplacement des trois premières boules.

Si la distance entre les boules est suffisamment grande (par exemple d = 5), l'angle des directions avec l'axe augmente et au bout d'un certain nombre de boules, l'angle a sera dépassé et les boules suivantes ne seront plus touchées.

Si la distance entre les boules est plus petite (par exemple d = 3), l'angle des directions avec l'axe  diminue et il semble que toutes les boules soient touchées.

Démonstration.

1^er cas d supérieur ou égal à 4

Appelons A₀, A₁ et A₂ les centres des trois premières boules, B₁ et B₂ les centres des deux premières au moment du choc avec la suivante, h₁ et h₂ leurs projections sur l'axe. Appelons a₀, a₁ et a₂ les angles des trajectoires des trois premières boules avec l'axe. Choisissons d = 5 (dans ce cas on a tan a = 0,436..)

tan a₀ = B₁h₁/A₀h₁   et tan a₁ =   B₁h₁/A₁h₁ 

Comme A₀h₁ > 3 et A₁h₁ < 2  il en résulte que    tan a₁/tan a₀ > 3/2.

tan a₁ = B₁h₁/A₁h₁ = B₂h₂/A₁h₂      et tan a₂ =   B₂h₂/A₂h₂ 

Comme A₁h₂ > 3 et A₂h₂ < 2  il en résulte que  tan a₂/tan a₁ >3/2.

Donc tan a₂ > (3/2)² tan a₀.

De proche en proche on obtient  tan a_n > (3/2)ⁿ tan a₀

Au bout d'un nombre fini n on aura tan a_n > 0,436.. dès que  l'angle a₀ n'est pas nul.

Pour d supérieur ou égal à  4  tan a₀ = B₁h₁/A₀h₁   = q > 1 et on sera dans la même situation.

2^ème cas:  2 < d < 4

Appelons M le milieu de [A₀A₁]

Si h₁ est compris entre A₁ et M, on a A₀h₁ > h₁A₁

On se retrouve dans le cas précédent et il n'y a qu'un nombre fini de boules qui seront frappées.

Si h₁ est compris entre A₀ et M, on a A₀h₁ < h₁A₁

il en résulte que tan a₁ < tan a₀  , tan a₂ < tan a₁…  donc que  la suite des ( a_n) est décroissante,

toutes les boules vont être frappées.

 Si h₁ est en M, on a A₀h₁ = h₁A₁

il en résulte que tan a₁ = tan a₀  , tan a₂ = tan a₁…  donc que  la suite des ( a_n) est constante,

toutes les boules vont être frappées.

Étude de quelques cas particuliers.

L'angle B₁A₀A₁ = a₀ doit être inférieur à a caractérisé par sin a = 2/d

Pour que h₁ soit en M, il faut que l'angle B₁A₁A₀ = a₁ = a₀ ait pour cosinus   d/4.

Si d = 3,5

a = 34,8° et  a₁ = 29°

Donc pour un angle a₀ inférieur ou égal à 29° toutes les boules sont déplacées.

Pour un angle a₀ compris entre  29° et  34,8° on ne déplace qu'un nombre fini de boules.

Pour un angle a₀ supérieur à  34,8° aucune boule n'est déplacée.

Si d = 3

a = 41,8° et  a₁ = 41,4°

Donc pour un angle a₀ inférieur ou égal à 41,4° toutes les boules sont déplacées.

Pour un angle a₀ compris entre  41,4° et  41,8° on ne déplace qu'un nombre fini de boules.

Pour un angle a₀ supérieur à  41,8° aucune boule n'est déplacée.

Si d = 2,5

a = 53,1° et  a₁ = 51,3°

Donc pour un angle a₀ inférieur ou égal à 51,3° toutes les boules sont déplacées.

Pour un angle a₀ compris entre  51,3° et  53,1° on ne déplace qu'un nombre fini de boules.

Pour un angle a₀ supérieur à  53,1° aucune boule n'est déplacée.

Si d = 2 √2

a = 45° et  a₁ = 45°

Donc pour un angle a₀ inférieur ou égal à 45° toutes les boules sont déplacées.

Pour un angle a₀ supérieur à  45° aucune boule n'est déplacée.

Pas de cas intermédiaire.

Représentons sur un même graphique, pour d compris entre 2 et 4 les fonctions y₁ = sin^-1(2/x) et y₂ = cos^-1(x/4)

(y₂ est en gras)

On remarque qu'au voisinage de d = 2 √2, il est difficile d'avoir le cas intermédiaire.

Conclusion.

Si d supérieur ou égal à 4, on ne peut espérer déplacer qu'un nombre fini de boules.

Si 2 < d < 4 et d 2 √2  on peut déplacer toutes les boules ou un nombre fini selon l'angle d'attaque de la première.

Si d = 2 √2, toutes les boules sont déplacées ou aucune n'est déplacée.