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RENNES N°3 L'inversion. Dans
le plan on considère un point noté S et à chaque point M
du plan on fait correspondre le point M' tel que: vecteur(SM') = -2
vecteur(SM)/SM² Cette transformation notée I est appelée inversion d'origine
S et de rapport –2. 1)
On se donne trois points M1, M2 et M3
et on note m1, m2 et m3 leurs images par
I. |
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Démontrer que les triangles SM1M2 et Sm1m2 sont de même forme.
2)
On considère une droite d et un point S non situé sur d.
a)
Placer les images par I d'un nombre suffisant de points de d, dont celui
du projeté orthogonal P de S sur d puis émettre une conjecture concernant la
transformée par I de la droite d.
b)
En considérant P et P' son image par I ainsi qu'un point M quelconque de
d et son image M', démontrer votre conjecture.
3)
On considère maintenant un cercle C passant par S. Émettre une
conjecture sur l'image de C par I puis démontrer votre conjecture.
4) Construire l'image par I d'un triangle ABC situé d'une manière quelconque par rapport à S.
Solution.
La calculatrice, à l'aide de Cabri, va nous permettre de faire des conjectures.
Une approche "Cabri" à l'aide d'une
calculatrice adaptée (V200 ou TI83) va nous faciliter la tâche.
Pour construire l'image de M par la transformation I on se sert de l'homothétie.
Pour un point M donné, son image M' sera l'image de M dans l'homothétie de centre S et de rapport –2/SM²
Algorithme de construction.
On place le point S.
On prend un point M quelconque et on demande la distance SM.
A l'aide de la calculatrice "Cabri" on calcule le rapport k =–2/SM²
Ensuite on utilise la commande "Homothétie"
pour avoir le point image de M par I.
1) On prend deux points et leurs images.
La relation de définition de I entraîne que SM'*SM = 2 donc SM1* Sm1 = SM2 *Sm2
Il en résulte que: SM1/SM2 = Sm2/Sm1
D'autre part les angles M1SM2 et m1Sm2 sont égaux car opposés par le sommet.
On a donc les triangles SM1M2 et Sm1m2 qui sont semblables (ou de même forme).
2) A partir de la figure précédente, on trace une droite d ne passant pas par S et on redéfinit le point M en demandant qu'il soit sur d par la commande "Redéfinir un objet".
a)En faisant varier M on obtient la figure suivante:
Il semble donc que l'image de la droite soit une partie
du cercle de diamètre [SP'].
b) Démonstration.
Soit M un point de d et M' son image, d'après la première question SPM et SP'M' sont semblables.
Comme l'angle SPM est droit, l'angle SM'P' est aussi
droit. Il en résulte que M' est sur le cercle de diamètre [SP'].
Réciproquement,
soit M' un point du cercle de diamètre [SP'] différent de S. La droite (M'S) coupe d en M.
Les triangles SPM et SM'P' sont rectangles et ont un angle aigu égal, donc ils sont semblables.
Il en résulte que SM SP' = 2.
Par construction les vecteurs SM et SM' sont colinéaires et de sens opposés, on a bien M' image de M par I.
Conclusion: L'image de d
par I est le cercle de diamètre [SP'] privé de S.
3)
On trace un cercle C passant par S et on redéfinit le point M comme précédemment
en lui demandant d'être sur C.
Conjecture: L'image du cercle privé de S est une
droite. S n'a pas d'image.
Démonstration.
On appelle P le point diamétralement opposé à S, P' son image. Soit un point M de C distinct de S.
Les triangles SMP et SM'P' sont semblables donc l'angle SP'M' est droit.
Il en résulte que M' appartient à la perpendiculaire d
à (SA) en P'.
Réciproquement.
Soit M' un point de d, la droite (SP') recoupe le cercle C en M.
Les triangles SPM et SM'P' sont rectangles et ont un angle aigu égal, donc ils sont semblables.
Il en résulte que SM * SP' = 2.
Par construction les vecteurs SM et SM' sont colinéaires et de sens opposés, on a bien M' image de M par I.
Donc M' est bien l'image d'un point M de d par I
Conclusion:
L'image de C privé de S par I est la droite
perpendiculaire à (SP) passant par P'. S n'a pas d'image.
4) Remarquons que l'image d'une droite passant par S privée du point S est globalement invariante.
L'utilisation de Cabri nous permet de voir que nous
avons quatre cas distincts.
Premier cas: S n'appartient pas aux droites
support des côtés du triangle ABC
L'image est constituée de trois arcs de cercle.
Pour obtenir l'image de [AB], il suffit de prendre les
images a' et b' de A et de B, construire le cercle circonscrit à Sa'b' et
garder l'arc de cercle limité par a' et b' ne contenant pas S.
Deuxième cas: S est en un sommet. (par exemple
A)
L'image est constituée d'un arc de cercle image de [BC]
et de deux demi-droites.
Troisième cas: S est sur un côté
(par exemple sur [AB]).
L'image est constituée de deux arcs de cercle et de
deux demi-droites.
Quatrième cas: S est sur le prolongement d'un côté.
(par exemple [AB])
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renn205.rtf(3625k)
