Soit H le pied de la hauteur issue de C du triangle CDE.

1)       Quelle est la nature du triangle CDE? Justifier.

2)       Montrer que  Aire (CDE) = 4/7 Aire(ABC).

Solution.

La calculatrice, à l'aide de Cabri va nous permettre de conjecturer sur la nature du triangle.

Approche Cabri.  

(Pour une meilleure lisibilité de la figure les noms des points sont en minuscule).

Construisons un triangle ABC et son cercle circonscrit.

Plaçons un point D sur le petit arc AC et demandons les longueurs AD et CD.

 Déplaçons D  pour que l'on ait  BC = 2AD.

Terminons la figure en demandant les longueurs de DE et CE.

Le triangle CDE semble être équilatéral.

Démonstration.

1) Les angles CDE et ADM sont égaux comme angles opposés par le sommet, donc l'angle CDE mesure 60°.

Les angles BDC et DAC sont égaux comme angles inscrits interceptant le même arc.

Les angles BDC et DCE sont égaux comme angles alternes internes, donc l'angle DCE mesure 60°

DCE a deux angles de 60°, donc c'est un triangle équilatéral.  

Construction de la figure.

Comme D est sur le petit arc AC, l'angle ADC vaut 120°.

On construit d'abord un triangle équilatéral ADM.

On place sur (MD) le point C tel que DC = 2 MD.

On construit le triangle équilatéral ACB et son cercle circonscrit.

On termine en plaçant le point E.

Autre méthode (idée de F. et M. Villiaumey).

D est tel quel DC/DA = .  Donc D est un élément de l'ensemble des points M du plan tels que MC/MA = 2, à savoir le cercle de diamètre [HK] où  H est le barycentre de A(2); C(1)) et K le barycentre de ((A,-2); C(1)). On place donc H au tiers de [AC] à partir de A et K le symétrique de C par rapport à A. Le point D est à l'intersection de ce cercle et du cercle circonscrit.

2)     

On demande l'aire de ABC et de CDE et on fait le rapport grâce à la commande "calculatrice".

7/4 = 1,75. Le résultat est conforme aux indications de l'énoncé.

  Dans le triangle ADC, AD = y, DC = 2y et ADC = 120°. Il en résulte que:

AC² = AD² + DC² – 2 AD.DC.cos( ADC ) = y² + (2y)² - 2y (-1/2) = 7y².

DC² = 4y²

Comme le rapport des aires de deux triangles équilatéraux est égal au rapport des carrés des côtés, on a bien: