Solution.

La calculatrice va nous permettre, grâce au module de géométrie, de faire une conjecture et d'avoir les éléments pour répondre au problème. 

Approche Cabri.

Recherchons quelques positions de O telles que l'aire de AIOL  soit le quart de l'aire de ABCD.

Il semble que tous les points trouvés soient sur une parallèle d à  la diagonale [BD].

Il semble que l'aire de OJCK  soit toujours le quart de l'aire de ABCD.

La droite d coupe la diagonale [AC] en P. Mesurons AP et PC.

P semble être le milieu de [AC].

Résumé de nos observations.

O semble être sur la parallèle à [BD] passant par le milieu de [AC] et dans ce cas  l'aire de OJCK est aussi le quart de l'aire de ABCD.

Démonstration.

Montrons d'abord que l'aire de AIPL  est le quart de l'aire de ABCD.

I, P et L sont les milieux de [AB], [AC] et [AD], donc le quadrilatère AIPL est l'image de ABCD dans l'homothétie de centre A et de rapport 1/2. Donc l'aire de AIPL est le quart de l'aire de ABCD.

De la même manière l'aire de PJCK est le quart de celle de ABCD.

Soit d la parallèle à (BD) passant par P. O un point de cette droite.

Montrons que l'aire de AIOL ne varie pas quand O parcourt d.

Le quadrilatère est formé du triangle AIL qui ne varie pas et du triangle IOL.

I et L étant les milieux de [AB] et de [AD], la droite (IL) est parallèle à (BD) donc d et (IL) sont parallèles.

Dans le triangle IOL, la hauteur relative au côté [IL] est la toujours la distance entre les droites d et (IL).

IOL a donc toujours la même aire.

De la même manière, OJCK  garde la même aire quand O parcourt d.

En reprenant le même raisonnement, tout point  Q de la parallèle d'  à (AC) passant par le milieu de [BD] donne des quadrilatères  QIBJ et QKDL qui ont une aire égale au quart de l'aire de ABCD.

Conclusion.

O sera à l'intersection de deux droites, chacune d'entre elle étant parallèle à une diagonale et passera par le milieu de l'autre. 

Télécharger la solution au format RTF:  amien306.rtf(2932k)