AMIENS N°4
Les
cinq nombres.
Prouver que parmi cinq nombres réels positifs donnés on peut trouver deux réels a et b tels que:
a/(a²+1) - b/(b² + 1) soit compris entre 0 et 1/8 au sens large.
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AMIENS N°4 Les
cinq nombres. Prouver que parmi cinq nombres réels positifs donnés on peut trouver deux réels a et b tels que: a/(a²+1) - b/(b² + 1) soit compris entre 0 et 1/8 au sens large. |
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Solution.
La calculatrice va nous permettre, grâce au tracé d'une fonction, d'avoir les éléments pour répondre au problème.
Représentons à l'aide de la calculatrice la fonction f définie sur R+ par f(x) = x/(1 + x²)
Il semble, à la lecture graphique que f(x) soit toujours compris entre 0 et 1/2.
Prouvons cette conjecture.
(Pour des problèmes d'écriture HTML les signes
"supérieur ou égal" et "inférieur ou égal" seront
remplacés par >= et <=)
Pour x positif, f(x) est forcément positif.
Pour tout x positif, (x – 1)² >= 0, c'est à dire x² + 1 >= 2x
En divisant par x² + 1 qui est toujours positif, on a 1 >= 2x/(1 + x²)
Donc f(x)<= 1/2
Soit a, b,
c, d et e cinq nombres réels positifs.
f(a), f(b), f(c), f(d) et f(e) sont cinq nombres de l'intervalle [0; 1/2].
Partageons l'intervalle [0; 1/2] en quatre intervalles de longueur 1/8.
I1
= [0; 1/8] , I2 = [1/8;
1/4[, I3 = [1/4; 3/8[ et I4 = [3/8; 1/2].
Comme il y a cinq nombres et quatre intervalles, il y a forcément deux nombres dans un même intervalle en se référant au principe des tiroirs.
Donc la distance entre ces deux nombres est inférieure
ou égale à 1/8.
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amien406.rtf(16k)