Solution.

La calculatrice va nous permettre, grâce au module de géométrie, de faire une conjecture et d'avoir les éléments pour répondre au problème. 

Approche Cabri.

Construction de la figure.

Soit ABCD un carré. (Ne pouvant écrire de vecteurs en HTML  PA écrit en rouge voudra dire "vecteur PA").

 c'est à dire (3 PA – 2 PB).(3PA + 2 PB) = 0  (1)

Appelons M le barycentre de {(A;3);(B;2)} et N le barycentre de {(A;3);(B;-2)}.

La relation (1) s'écrit alors: PN.PM = 0, ce qui signifie que P est sur le cercle de diamètre [MN].

PD/PA = 1/2 ce qui équivaut à  4PD² - PA² = 0   c'est à dire ( 2 PD – PA).(2PD + PA) = 0 (2)

 Appelons J le barycentre de {(A;1);(D;2)} et K le barycentre de {(A;-1);(D;2)}.

La relation (2) s'écrit alors: PK.PJ = 0, ce qui signifie que P est sur le cercle de diamètre [IJ].

(Remarque: La droite (CM) coupe (AD) en J).

En traçant ces deux cercles et en plaçant le point P on peut évaluer la mesure de l'angle APD.

Il semble que cet angle mesure 135°

Démonstration.

En supposant  que PD = 2, PA = 4 et que APD = 135°, on va montrer que PB = 6.

1°) Calcul de la longueur du côté du carré.

Dans le triangle APD on a:

AD² = AP² + DP² - 2AP.DP. cos(APD)

Ce qui donne:

AD² = 16 + 4 + 2 . 4 . 2 .√(2)/2  = 20 + 8√(2)

d'où AD = 2√(5 + 2√(2))

2°) Calcul de cos(DAP).

Dans le triangle DAP on a:

DP² = AD² + AP² - 2AD.AP.cos(DAP)

Ce qui donne:

4 = 16 + 20 + 8 √(2) – 16 √(5 + 2√(2)) cos(DAP)

d'où  cos(DAP) = (32 + 8√(2))/(16√(5 + 2√(2))) = (4 + √(2))/(2√(5 + 2√(2)))

3°) Calcul de cos(PAB)

cos²(DAP) = (18 + 8√(2))/(4(5 + 2√(2))) = (9 + 4√(2))/(10 + 4√(2)) = 1 – 1/(10 + 4√(2))

 D'où sin² (DAP) = 1 - cos²(DAP) =  cos² (PAB) = 1/(10 + 4√(2)) = (5 - 2√(2))/34

cos(PAB) =√( (5 - 2√(2))/34).

4°) Calcul de PB.

Dans le triangle APB, on a:

PB² = AP² + AB² - 2.AP.AB.cos(PAB)

Ce qui donne:

PB² = 36 + 20 + 8 √(2) – 22 √(5 + 2√(2))). √((5 - 2√(2))/34)

       = 36 + 8 √(2) – 16√(17)/ √(34)  = 36 + 8 √(2) – 8 √(2) = 36

D'où PB = 6, ce qui valide la conjecture faite.

Télécharger la solution au format RTF:  cret506.rtf(2301k)

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