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MONTPELLIER N°4 Struggle
for life. Sur
cette île chaque jour et dans cet ordre, chaque loup tue un mouton,
chaque mouton tue un serpent et chaque serpent tue un loup. Après
dix jours il ne reste plus sur l'île qu'un mouton et aucun autre animal. Combien
y avait-il d'animaux de chaque espèce au départ? |
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Solution.
La calculatrice va nous permettre, grâce aux possibilités sur les suites ou le calcul matriciel, d'avoir la solution.
Désignons par Ln, Sn et Mn le nombre de loups, de serpents et de moutons le nième jour.
On a
Mn
= Mn-1 – Ln-1
Sn
= Sn-1 – Mn = Sn-1 – Mn-1 + Ln-1
Ln
= Ln-1 – Sn = Mn-1 – Sn-1
A partir de
ces relations, on obtient:
Mn-1 = Mn + Sn + Ln
Sn-1 = Mn + Sn
Ln-1 = Sn + Ln
Au dixième jour il reste 1 mouton, 0 serpent et 0 loup.
Entrons la liste des quatre nombres {10,1,0,0} dans la calculatrice puis les quatre relations de récurrence.
Il suffit d'appuyer 9 fois sur la touche ENTER pour voir apparaître le résultat.
Donc on peut conclure qu'au départ il y avait 816 moutons, 616 serpents et 465 loups.
Avec le calcul matriciel.
Partons des relations précédentes:
Mn
= Mn-1
– Ln-1
Sn
= – Mn-1 + Sn-1
+ Ln-1
Ln
= Mn-1
– Sn-1
Appelons Bn la matrice
| Mn |
| Sn |
| Ln |
et A la matrice
| 1 | 0 | -1 |
| -1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | 0 |
Nous avons donc la relation Bn = A.Bn-1
| 1 |
| 0 |
| 0 |
Entrons les matrices A et B10 dans la calculatrice.
Et pour avoir le résultat, il suffit de demander (A-1)9. B.
Donc on peut conclure comme précédemment qu'au départ il y avait 816 moutons, 616 serpents et 465 loups.
Télécharger la solution au format RTF:montp06.rtf(46k)
