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PARIS
Le
paquet de cartes.
2006 cartes sont numérotées
de 1 à 2006. Elles sont mélangées et empilées. La carte au sommet de
la pile est posée sur la table, la suivante est placée sous la pile.
Puis la carte suivante sur la pile est placée sur la table à droite de
la carte précédemment posée et la carte suivante sous la pile. On
continue ainsi jusqu'à ce que toutes les cartes soient alignées sur la
table.
On constate que les cartes
sont alignées (de gauche à droite) dans l'ordre 1, 2, 3, … 2005, 2006.
Au départ, combien de
cartes étaient-elles empilées au-dessous de la carte 2005?
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Solution.
La
calculatrice va nous permettre, grâce à un programme, d'avoir la solution.
Commençons
d'abord à faire subir à un paquet de 2006 cartes numérotées de 1 à 2006
sans être mélangées les manipulations prévues.
Au départ nous avons la liste
L0 = {1, 2, 3, 4,…, 2003, 2004, 2005,2006}
On commence par poser les numéros impairs 1, 3, 5, 7,
… et donc après un tour il reste: L1 = {2, 4, 6, … , 2000, 2002, 2004, 2006}
Après le deuxième tour, il reste
L2 = {4, 8, 12, 16, … , 2000, 2004}
Après le troisième tour, il reste
L3 = {4, 12, 20, … 1996, 2004}
Remarquons que:
Pour passer de Ln à Ln+1, on
prend un terme sur deux de Ln.
Si Ln
et Ln+1 se terminent par le même nombre, le premier nombre de Ln+2
est le deuxième de Ln+1
Si Ln et Ln+1 ne se terminent pas
par le même nombre, le premier nombre de Ln+2 est le premier de Ln+1
Poursuivons cet algorithme à la calculatrice
jusqu'à obtenir une liste à
un seul nombre.
Conditions initiales:
Dans L3 on met la liste {4, 12, 20, … 1996, 2004} (On
va de 8 en 8 à partir de 4)
Dans L on
met la longueur de la liste L3
Dans D on met le dernier terme de la liste précédente.
On enregistre le programme correspondant à
l'algorithme ci-dessus:
Et on l'exécute.
Les deux dernières cartes posées porteront les numéros
940 et 1964.
Prenons maintenant le tas de cartes mélangées.
Si l'on veut que la carte 2005 soit posée en avant
dernière position, elle doit donc occuper la position 940 (à partir du dessus)
dans le tas de cartes mélangées. Ce qui impose d'en avoir 1066 au dessous.
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Télécharger la solution au format RTF:paris06.rtf(46k)
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