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VERSAILLES N°1 Le triangle équilatéral. Soit
ABC un triangle équilatéral de côté a et de centre O. On considère un point M du segment [AB]. On pose x = AM. Si
les droites (MO) et (AC) sont sécantes, on appelle N leur point
d'intersection. |
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1.
Quel est l'ensemble I des réels x pour lesquels N appartient au segment
[AC]?
2. Pour tout x élément de I, on note S(x) l'aire du triangle AMN. Quelles sont les valeurs minimale et maximale de S(x)?
Solution.
La calculatrice va nous permettre, grâce au module de géométrie, de faire une conjecture et d'avoir les éléments pour répondre au problème.
Approche Cabri.
On s'aperçoit que le point N appartient au segment [AC]
que si M est en A ou que si M appartient au segment [IB] où I est le milieu de
[AB].
Quand M est en A l'aire de AMN vaut 0.
En faisant varier M sur [IB],
il semblerait que l'aire de AMN soit maximale quand M est en I ou en B et vaut dans ce cas la moitié de l'aire de ABC.
il semblerait que l'aire soit minimale quand la droite
(MN) est parallèle à (BC).
Démonstration.
1°) N n'est défini que si M est en A ou sur le segment
[BI] donc l'ensemble recherché est [a/2; a] U {0}
2°) Quand M est en A l'aire de AMN vaut 0. Examinons le cas où M appartient à [IB].
a) Montrons que l'aire de AMN est maximale quand M est en I ou en B.
Appelons J le milieu de [AC].
On a Aire(ABJ) = Aire(AMN) +
Aire(MOB) – Aire(OJN). Montrons que l'aire de MOB est supérieure ou égale à
l'aire de OJN.
Comme (OI) est perpendiculaire à (AB) et que M appartient au segment [IB], on a OI <= OM et OM <= OB
De la même manière OJ <= ON et ON <= OC.
De plus OI = OJ et OB = OC.
Il en résulte que OB >=
ON et OM >= OJ.
On a Aire(MOB) = OM . OB . sin(MOB)/2 et Aire(JON) = OJ . ON . sin(JON)/2
Comme les angles MOB et NOJ sont égaux, l'aire de MOB est supérieure ou égale à l'aire de JON.
Il en résulte que l'aire de
ABJ est supérieure ou égale à l'aire de AMN.
L'aire de AMN est maximale
quand M est en I ou en B et elle vaut la moitié de l'aire de ABC.
b) Montrons que l'aire de AMN est minimale quand (MN) est parallèle à (BC).
La parallèle à (BC) passant par O coupe (AB) en P et (AC) en Q.
1er cas, M est entre B et P.
Par P menons la parallèle à (AC), elle coupe (MN) en K.
K est entre M et O car l'angle MPO est obtus et l'angle KPO est aigu.
Comme O est le milieu de [PQ], les triangles POK et QON sont symétriques par rapport à O donc ont même aire.
Donc l'aire de POM est supérieure ou égale à l'aire de QON.
Ce qui fait que l'aire de AMN est supérieure ou égale
à l'aire de PAQ.
2ème cas, M est entre P et I.
Par Q menons la parallèle à
(AB), elle coupe (MN) en L.
Comme précédemment on
montre que l'aire de AMN est supérieure ou égale à l'aire de APQ.
Donc l'aire de AMN est minimale quand M est en P et celle-ci vaut les quatre neuvièmes de l'aire de ABC car APQ est l'homothétique de ABC dans le rapport 2/3.
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versa06.rtf(2932k)
